一、定义
根据a≡b（mod m）
可以把整数分为m个等价类，称为模m的剩余类
在一个模m的剩余类中，如果有一和m互质，那么这一类中所有数与m互质。
与m互质的剩余类的个数，记为φ（n）。
即不大于m的数中，与m互质的数的个数，欧拉函数。
每类各取一个代表元，组成一个m的缩剩余系，简称缩系
二、计算
1、根据定义，数出与n互质的数的个数
2、对n质因数分解，若n=p1^k1*p2^k2……*pm^km
则φ（n）=n*∏（1-1/pi） i=1
三、性质
1、若p为质数，则φ（p）=p-1
证明：p=p^1 ∴φ（p）=p*（1-1/p）=p* （p-1）/p=p-1
2、若p为质数，则φ（p^k）=(p-1)*p^(k-1)
证明：若p为质数，则p^k以内，只有p的倍数不与p^k互质，p的倍数有p^k/p=p^(k-1)个
∴φ（p^k）=p^k-p^(k-1)=p^(k-1)*(p-1)
3、
4、若n>2，则φ（n）为偶数
证明：① 若n为质数，由性质1得，φ（n）=n-1。
所有大于2的质数结尾奇数，奇数-1=偶数
② 若n是合数，n=p1^k1*p2^k2……*pm^km
φ（n）=n*∏（1-1/pi）=φ(p1^k1)*φ(p2^k2)*……*φ(pm^km)
由性质2得， =p1^(k1-1)*(p1-1) * p2^(k2-1)*(p2-1) *……
∵p为质数，∴p-1=偶数 偶数*任何数=偶数
5、当n>1时，1……n与n互质的整数和为n*φ（n）/2
令1……n与n互质的整数和=s
证明：若n为质数,s=1+2+3+……+n-1=n*(n-1)/2
若n为合数，
x<n 若(n,x)=1，那么（n,n-x）=1 (不会证，感性认识下吧)
将 不大于n，与n互质的φ(n)个数，由小到大排
由性质4得，1,a2,……a φ(n)/2, n-a φ(n)/2 ……，n-a2,n-1可以表示所有的满足要求的数
首尾相加=n，所以1……n与n互质的整数和为n*φ（n）/2
6、欧拉函数是积性函数，若a，m互质，则φ（a*b）=φ（a）*φ（b）
7、若n为奇数，则φ（2*n）=φ（n）
证明：因为n为奇数，所以n与2互质，由性质6可得，φ（2*n）=φ（2）*φ（n）=φ（n）
8、如果i%p==0，那么φ（i*p）=φ（i）*p
如果i%p！=0，那么 φ（i*p）=φ（i）*（p-1） 其中p为质数
在证明此定理前，先证明另一个性质：若a，b互质，则a+b，b互质
证明：假设a+b，b不互质，设gcd（a+b，b）=m，b=qm，a+b=pm
那么a=（p-q）m，与b有公因数m，不符合a，b互质条件
同理，可证明 若a，b不互质，a+b，b不互质
证明：当i%p==0时，
φ（i*p）-φ（i）=大于i且与i互质的个数-与p不互质的数的个数，
因为p为质数，所以后者为0
由上面证明的性质得，与i互质的每一个数，每扩大一倍，会产生一个与i互质的数，扩大p-1倍（即*p）后，产生p-1个与i互质的数，所以总共又新加了（p-1）*φ（i）个数
而与i不互质的数，无论怎么扩大，都与i不互质
当i%p！=0时，
因为p是质数，所以i与p互质，由性质6得，φ（i*p）=φ（i）*φ（p）
由性质1得，φ（p）=p-1，所以 φ（i*p）=φ（i）*（p-1）
9、性质8的另一种写法
四、欧拉定理
若（a，n）=1，则a^φ（n）≡1（mod n）
定义集合Z={x1，x2,x3……x φ(n)} xi为不大于n且与n互质的数
集合S={a*x1（mod n），a*x2(mod n),a*x3(mod n) …… a*x φ(n) (mod n)}
由剩余类的定义可以，两集合相等
那么 (a*x1 * a*x2 * a*x3 * …… *a*xφ(n)) (mod n)=（x1*x2*x3*……*xφ(n)）(mod n)
等号左边=a^φ（n）*（x1*x2*x3*……*xφ(n)） (mod n)
消去（x1*x2*x3*……*xφ(n)）
得证。